定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)；②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：（1）f（0）=0；（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）f(15)+f(11-数学试题及答案

1、试题题目：定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)；
②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0．求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=0，
有2f（0）=f（0），
∴f（0）=0；
（2）令-1＜x₁＜x₂＜1，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1?x2

)，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁?x₂＞0，
∴-1＜

x1-x2

1-x1?x2

＜0，
∴f(

x1-x2

1-x1?x2

)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
∴-f（

1

5

）=f(-

1

5

)=f(

3-2

1+3×(-2)

) =f(3)+f(-2)=f(3)-f(2)，①
-f(

1

11

)=f(-

1

11

)= =f(

4-3

1+4×(-3)

) =f(4)+f(-3)=f(4)-f(3)，②
…
-f(

1

n2+3n+1

)=f(-

(n+2)-(n-1)

1+(n+2)?[-(n+1))]

)=f(n+2)+f[-(n+1)]=f(n+2)-f(n+1) ③
将上式①②…③n个式子累加有
-[f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)]
=f(-

1

5

)+f(-

1

11

)+f(-

1

19

)+…+f(-

1

n2+3n+1

)
=f（n+2）-f（2）=f(

n

1-2(n+2)

)，
又f（x）在（-1，1）上是减函数；
∴f(

n

1-2(n+2)

)=f(-

n

2n+3)

)＜f(-

n

2n

) =-f(

1

2

)＜f(-

n

2n

) =-f(

1

2

)，
∴f(

1

5

)+f(

1

11

)+f(

1

19

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：