定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；（2）若f（9）=7，解-数学试题及答案

1、试题题目：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
设0＜x₁＜x₂，则 0＜

x1

x2

＜1，于是有：f(

x1

x2

)＞1
f（x₁）=f(x2?

x1

x2

)=f（x₂）+f(

x1

x2

)-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
      即：f（x₁）＞f（x₂）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：

x2+2x＞0

3＞0

x2+2x ＜3

，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
（2）不等式f（x²+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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