已知定义域在R上的单调函数，存在实数x0，使得对于任意的实数x1，x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．（1）求x0的值；（2）若f（1）=1，且对于任意的正整数n，有an=1f(n)-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义域在R上的单调函数，存在实数x0，使得对于任意的实数x1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知定义域在R上的单调函数，存在实数x₀，使得对于任意的实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（1）=1，且对于任意的正整数n，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1
（Ⅰ）若S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n；
（Ⅱ）若T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），∴f（x₀）=-f（0）①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）②
由①②得f（x₀）=f（1）
又∵f（x）是单调函数，
∴x₀=1
（2）由（1）可得 f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）+1
则f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2
又∵f（1）=1
∴f（n）=2n-1 （n∈N^*），
∴a_n=

1

2n-1

∴S_n=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）
又∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）+f（1），∴f（

1

2

）=0，∴b₁=f（

1

2

）+1=1
∵f（

1

2n

）=f（

1

2n+1

+

1

2n+1

）=f（

1

2n+1

）+f（

1

2n+1

）+f（1）=2f（

1

2n+1

）+1
∴b_n=f（

1

2n

）+1=2f（

1

2n+1

）+2=2b_n+1
∴bn=b1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1
∴b_nb_n+1=(

1

2

)n-1×(

1

2

)n=

1

2

×(

1

4

)n-1
∴T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

1

2

×(1- (

1

4

)n )

1-

1

4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义域在R上的单调函数，存在实数x0，使得对于任意的实数x1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：