如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；（2）-数学试题及答案

1、试题题目：如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

如果对于函数f（x）的定义域内任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
（1）判断函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
（2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．
（3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，
有-1≤x₁+x₂-1≤1，|x₁+x₂-1|≤1．（2分）
从而|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₁）-（x₂²-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂-1|≤|x₁-x₂|．
∴函数f（x）=x²-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
（2）当|x₁-x₂|＜

1

2

时，由已知得|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|＜

1

2

；（6分）
当|x₁-x₂|≥

1

2

时，因为x₁，x₂∈[0，1]，不妨设0≤x₁＜x₂≤1，其中x₁-x₂≤-

1

2

，
因为f（0）=f（1），所以：
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤|x₁-0|+|1-x₂|=x₁-x₂+1≤-

1

2

+1=

1

2

．
故对于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

1

2

成立．（10分）
（3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
接给出正确结论）（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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