在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则AM?PQ的最大值是（）A．12B．1C．32D．54-数学试题及答案

1、试题题目：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P，Q是正方体内..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是BC的中点，P，Q是正方体内部及面上的两个动点，则

AM

?

PQ

的最大值是（　　）

A．

1

2

B．1

C．

3

2

D．

5

4

试题来源：杭州模拟试题题型：单选题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以A为原点，分别以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），C₁（1，1，1），D₁（0，1，1）．
由题意可得，M（1，

1

2

，0），设P（x₁，y₁，z₁），Q（x₂，y₂，z₂），
则有 0≤x₁≤1，0≤y₁≤1，0≤z₁≤1，0≤x₂≤1，0≤y₂≤1，0≤z₂≤1．
∴向量

AM

=（1，

1

2

，0），向量

PQ

=（ x₂-x₁，y₂-y₁，z₂-z₁），
可得

AM

?

PQ

=（x₂-x₁）+

y2-y1

2

．
当Q在BCCB₁平面，P在ADDA₁平面时，x₂-x₁=1-0=1，为最大值，
当Q在DCCD₁平面，P在ABBA₁平面时，y₂-y₁=1-0=1，为最大值，
故当P在AA₁上，Q在CC₁上，

AM

?

PQ

有最大值，此时，

AM

?

PQ

=1+

1

2

=

3

2

，
故选C．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P，Q是正方体内..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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