函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
则f（-x）=

-ax+b

x2+1

=-f（x）=-

ax+b

x2+1

解得b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

．
∴

1

2

a

1

2

2+1

=

2

5

解得a=1
故f(x)=

x

x2+1

（2）任取区间（-1，1）上两个任意的实数m，n，且m＜n
则f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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