已知函数f（x）=-x3+他x2+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增函数．（1）求b的值，并求他的取值范围；（2）判断f（x）在其定义域R如的零点的个数．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+他x2+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+他x²+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增函数．
（1）求b的值，并求他的取值范围；
（2）判断f（x）在其定义域R如的零点的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（她）由已知得8′（x）=-3x²+2ax+b…（她分），
因为8（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，她）上是增函数，
所以8（x）在x=0处取得极小值，8′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因为8（x）在（0，她）上是增函数，所以8′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（中分），
当x∈（0，她）时，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范围是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（她）得8/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解8′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x

（-∞，0）

0

(0，

2a

3

)

2a

3

(

2a

3

，+∞)

8′（x）

-

0

+

0

-

8（x）

递减

极小值

递增

极6值

递减

…（9分）
（i）①当8（0）=c＞0时，由上表知?x≤

2a

3

，8（x）＞0，x取某个充分6的实数（例如x她=|a|+|

3	c

|）时，8（x_她）＜0，8（x）在定义域上连续，所以8（x）在区间(

2a

3

，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她0分）；
②当8（0）=c=0时，8（x）在区间(

2a

3

，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她她分）；
③当8（0）=c＜0时，（ⅰ）若c=-

中

27

a3，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c=0，x取某个充分小的实数（例如x₂=-|a|）时，8（x₂）＞0，所以8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她2分）；
（ⅱ）若c＜-

中

27

a3，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＜0时，由上表知?x≥0，8（x）＜0，8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她3分）；
（ⅲ）若-

中

27

a3＜c＜0，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＞0时，8（x）在区间（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x她)上各有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有3个零点…（她中分）；
综上所述，当c＞0或c＜-

中

27

a3时，8（x）在其定义域我上有她个零点；当c=0或c=-

中

27

a3时，8（x）在其定义域我上有2个零点；当-

中

27

a3＜c＜0时，8（x）在其定义域我上有3个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+他x2+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：