定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）对t∈[4，6]恒成立，求实数x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）当x＜0时，-x＞0，则0＜f(-x)＜1?f(x)=

1

f(-x)

＞0
即对任意x∈R都有f（x）＞0
对于任意x₁＞x₂，

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1?f(x1)＜f(x2)
即f（x）在R上为减函数．

（3）∵y=f（x）为R上的减函数
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t²-4t+13）
?（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t²-4t+13?|x-4|-|x+4|＜

t2-4t+13

t-2

由题意知，|x-4|-|x+4|＜(

t2-4t+13

t-2

)min
而

t2-4t+13

t-2

=(t-2)+

9

t-2

∈[6， 6

1

2

]
∴须|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集为：{x：x＞-3}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）?f（n）..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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