已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）（1）求f（1，4），f（2，8）的值；（2）求f（1，n），f（2，2n），其中n∈N*；（3）求证：f（2，2n）＞f（1，n）对?n∈N*恒-数学试题及答案

1、试题题目：已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y）
（1）求f（1，4），f（2，8）的值；
（2）求f（1，n），f（2，2ⁿ），其中n∈N^*；
（3）求证：f（2，2ⁿ）＞f（1，n）对?n∈N^*恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由条件有：f(x，x+y)=

x+y

y

f(x，y)，
（1）∴f(1，4)=

4

3

f(1，3)=

4

3

×

3

2

f(1，2)=

4

3

×

3

2

×

2

1

f(1，1)=4；
∴f(2，8)=

8

6

f(2，6)=

8

6

×

6

4

×

4

2

f(2，2)=8．
（2）由（1）知：
f(1，n)=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

f(1，1)=n，
f(2，2n)=

2n

2n-2

×

2n-2

2n-4

×…×

4

2

f(2，2)=2n；
（3）由（2）知：即求证：2ⁿ＞n对?n∈N^*恒成立
证明如下：
（1）当n=1时，2¹＞1显然成立
（2）当n＞1时，设n=k时成立，即：2^k＞k，
那么当n=k+1时，2^k+1=2×2^k＞2k=k+k＞k+1成立．
由（1）和（2）命题对?n∈N^*恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知对?x，y＞0，有f（x，x）=x，f（x，y）=f（y，x），（x+y..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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