已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（x+y2）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是_____

1、试题题目：已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（

x+y

2

）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（

x+y

2

）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（

1

2

）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y=

1

2

，可得f（

1

4

）=（1-a）f（0）+af（

1

2

）=a²，
令x=

1

2

，y=1，可得f（

3

4

）=（1-a）f（

1

2

）+af（1）=2a-a²，
令x=

1

4

，y=

3

4

，可得f（

1

2

）=（1-a）f（

1

4

）+af（

3

4

）
∴a=（1-a）a²+a（2a-a²）
∴a（2a-1）（a-1）=0
∵0＜a＜1，
∴a=

1

2

故答案为：

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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