函数f（x）满足f(-1)=14，对任意x，y∈R有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y)，则f（-2012）_____

1、试题题目：函数f（x）满足f(-1)=14，对任意x，y∈R有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）满足f(-1)=

1

4

，对任意x，y∈R有4f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)=f(x)+f(y)，则f（-2012）______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（-1）=

1

4

，令x=y=-1，有4f（-1）f（0）=2f（-1）=

1

2

，
∴f（0）=

1

2

，
令y=-x，有4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），即2f（x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数；
令x=-2，y=0，有4[f（-1）]²=f（-2）+f（0），解得f（-2）=-

1

4

①；
令x=-4，y=0，有4[f（-2）]²=f（-4）+f（0），解得f（-4）=-

1

4

②；
再令x=4，y=2，有4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（3）=

1

4

；
令x=-6，y=0，有4[f（-3）]²=f（-6）+f（0），解得f（-6）=-

1

4

③；
…
∴f（-2n）=-

1

4

．
∴f（-2012）=-

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）满足f(-1)=14，对任意x，y∈R有4f(x+y2)f(x-y2)=f(x)+f(y..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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