设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．（1）求f（12）的值；（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；（3）一个各项-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1且x＞1时f（x）＞0．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（3）一个各项均为正数的数列{a_n}满足f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中S_n是数列{a_n}的前n项和，求{a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1，得f（1）=0
而令x=2，y=

1

2

，得f（1）=f（2）+f（

1

2

）
∴f（

1

2

）=-f（2）=-1，（4分）
（2）在（0，+∞）上任取两数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令

x2

x1

=k，则f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（8分）
（3）f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*）
=f（a_n）+f（a_n+1）+f（

1

2

）
=f[

an(an+1)

2

]，
由于f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴S_n=

an(an+1)

2

，n∈N^*）
∴S_n-1=

an-1(an-1+1)

2

，n≥2
两式相减，有

a

2n

-

a

2n-1

+an-an-1

2

=a_n，
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，a_n-a_n-1=1，n≥2
所以数列{a_n}是公差为1的等差数列，
当n=1时，a₁=S₁=

a1(a1+1)

2

，a₁=1
∴a_n=n （14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）的定义域为（0，+∞）且对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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