设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线l，使l过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足-数学试题及答案

1、试题题目：设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹为曲线E，是否存在直线l，使l过点（0.1）并与曲线E交于P、Q两点，且满足

OP

?

OQ

=-2？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
注：三角形的重心的概念和性质如下：设△ABC的重心，且有

GD

GC

=

GE

GA

=

GF

GB

=

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

可设C点的坐标为（x，y）．
由重心坐标的公式，可得G（

1

3

x，

1

3

y）
外心M在AB的垂直平分线上，显然AB所在直线为y=0，外心就落在y轴上，横坐标为零；
设外心坐标M（0，b），由GM∥AB可知

1

3

y=b
那么就确定了外心坐标M（0，

1

3

y）
由外心定义，CM=AM=BM，AM已经等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴x2+(y-

1

3

y)2=(-1-0)2+(

1

3

y)2
整理可得点C的轨迹方程为 x²+

y2

3

=1(xy≠0)
（II）假设存在直线l满足条件，设直线l方程为y=kx+1，
由

y=kx+1

x2+

y2

3

=1

消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0
∵直线l与曲线E并于P、Q两点，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

x1+x2=-

2k

3+k2

x1x2=-

2

3+k2

.

∵

OP

?

OQ

=-2，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）(-

2

3+k2

)+k(-

2k

3+k2

)+3=0
解得k²=7，∴k=±

7

故存在直线l：y=±

7

+1，使得

OP

?

OQ

=-2，

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：