已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知圆C：（x+1）²+y²=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设过点C的直线l₁交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l₂交曲线E于R，T两点，且l₁⊥l₂，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）
①设W（x_°，y_°），证明：

x°2

2

+y°2＜1；
②求四边形QRST的面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设动圆半径为r，
则|PC|=2

2

-r，|PD|=r，|PC|+|PD|=2

2

＞|CD|=2，
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，
其方程为

x2

2

+y2=1．（2分）
（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，
则有x°2+y°2=1，
又因Q，S，R，T为不同的四个点，

x°2

2

+y°2＜1．（4分）
②若l₁或l₂的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）
若两条直线的斜率存在，设l₁的斜率为k₁，
则l₁的方程为y=k₁（x+1），
联立

y=k1(x+1)

x2

2

+y2=1

，
得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
则|QS|=2

2

k2+1

2k2+1

，（8分）
同理得|RT|=2

2

k2+1

k2+2

，
∴SQSRT=

1

2

|QS|?|RT|=4

(k2+1)2

(2k2+1)(k2+2)

≥4

(k2+1)2

9

4

(k2+1)2

=

16

9

，
当且仅当2k²+1=k²+1，即k=±1时等号成立．（11分）
综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为

16

9

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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