已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=12，P为椭圆上一动点．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF1F2面积的最大值为3．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l与圆x2+-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=12，P为椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

1

2

，P为椭圆上一动点．F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与圆x²+y²=1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求

OA

?

OB

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，
则

a2-b2

a

=

1

2

，所以

3

a=2b、
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，
△PF₁F₂的面积最大，故|F₁F₂|b=bc=

3

，
解得a=2，b=

3

．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y

3

=1．
（II）当直线l的斜率不存在时，因l与与圆x²+y²=1相切，∴l：x=1，此时A（1，

3

2

），
B（1，-

3

2

），∴

OA

?

OB

=1-

9

4

=

5

4

；
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，因l与与圆x²+y²=1相切，∴

|m|

1+k2

=1，整理得m²=k²+1，
联立l与椭圆C的方程，消去y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=48（4k²+3-m²）=48（3k²+2）＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，
x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-12k2

4k2+3

∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

4k2+3

+

3m2-12k2

4k2+3

=

-5(k2+1)

4k2+3

=-

5

4

-

5

4(4k2+3)

∵4k²+3≥3，
∴0＜

5

4(4k2+3)

≤

5

12

，-

5

3

≤

OA

?

OB

＜-

5

4

．
综上，

OA

?

OB

的取值范围是[-

5

3

，-

5

4

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=12，P为椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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