已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（12，12）且被P点平分的弦所在的直线方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

2

+y2=1．
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在的直线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的中点为R（x，y），
则x12+2y12=2，x22+2y22=2，
两式相减并整理可得

x1-x2

y1-y2

=

2(y1+y2)

x1+x2

=-

x

2y

，①
将

y1-y2

x1-x2

=2代入式①，得所求的轨迹方程为x+4y=0（椭圆内部分）．
（2）可设直线方程为y-1=k（x-2）（k≠0，否则与椭圆相切），
设两交点分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
则

x3 2

2

+y32=1，

x42

2

+y42=1，两式相减得

(x3+x4)(x3-x4)

2

+ (y3 +y4)(y3-y4)=0，
显然x₃≠x₄（两点不重合），
故

x3+x4

2

+

(y3+y4)(y3-y4)

x3-x4

=0，
令中点坐标为（x，y），
则x+2y?

y3-y4

x3-x4

=0，
又（x，y）在直线上，所以

y-1

x-2

=k，
显然

y3-y4

x3-x4

=k，
故x+2y?k=x+2y?

y-1

x-2

=0，即所求轨迹方程为x²+2y²-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）．
（3）设过点P（

1

2

，

1

2

）的直线与

x2

2

+y2=1交于E（x₅，y₅），F（x₆，y₆），
∵P（

1

2

，

1

2

）是EF的中点，
∴x₅+x₆=1，y₅+y₆=1，
把E（x₅，y₅），F（x₆，y₆）代入与

x2

2

+y2=1，
得

x52+2y52=2

x62+2y62=2

，
∴（x₅+x₆）（x₅-x₆）+2（y₅+y₆）（y₅-y₆）=0，
∴（x₅-x₆）+2（y₅-y₆）=0，
∴k=

y5-y6

x5-x6

=-

1

2

，
∴过点P（

1

2

，

1

2

）且被P点平分的弦所在的直线方程：y-

1

2

=-

1

2

(x-

1

2

)，
即2x+4y-3=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x22+y2=1．（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（2）过A（..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：