数列{an}满足a1=16，前n项和Sn=n(n+1)2an（1）写出a2，a3，a4；（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=16，前n项和Sn=n(n+1)2an（1）写出a2，a3，a4；（2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a1=

1

6

，前n项和Sn=

n(n+1)

2

an
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令n=2，∵a1=

1

6

，∴S2=

2×(2+1)

2

a2，即a₁+a₂=3a₂．∴a2=

1

12

．
令n=3，得S3=

3×(3+1)

2

a3，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴a3=

1

20

．
令n=4，得S4=

4×(4+1)

2

a4，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴a4=

1

30

．
（2）猜想an=

1

(n+1)(n+2)

，下面用数学归纳法给出证明．
①当n=1时，a1=

1

6

=

1

(1+1)(1+2)

结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

，
则当n=k+1时，Sk=

k(k+1)

2

ak=

k(k+1)

2

?

1

(k+1)(k+2)

=

k

2(k+2)

，Sk+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1，
即Sk+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴

k

2(k+2)

+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴ak+1=

k

2(k+2)

(k+1)(k+2)

2

-1

=

k

k(k+3)(k+2)

=

1

(k+2)(k+3)

．
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N₊都有an=

1

(n+1)(n+2)

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=16，前n项和Sn=n(n+1)2an（1）写出a2，a3，a4；（2）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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