已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-1an．（Ⅰ）设c=52，bn=1an-2，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-1an．（Ⅰ）设c=52，bn=1an-2，求数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-

1

an

．
（Ⅰ）设c=

5

2

，b_n=

1

an-2

，求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）an+1-2=

5

2

-

1

an

-2=

an-2

2an

，

1

an+1-2

=

2an

an-2

=

4

an-2

+2，即b_n+1=4b_n+2
bn+1+

2

3

=4(bn+

2

3

)，a₁=1，故b1=

1

a1-2

=-1
所以{bn+

2

3

}是首项为-

1

3

，公比为4的等比数列，
bn+

2

3

=-

1

3

×4n-1，bn=-

4n-1

3

-

2

3

（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用数学归纳法证明：当c＞2时a_n＜a_n+1．
（ⅰ）当n=1时，a₂=c-

1

a1

＞a₁，命题成立；
（ii）设当n=k时，a_k＜a_k+1，
则当n=k+1时，ak+2=c-

1

ak+1

＞c-

1

ak

=ak+1
故由（i）（ii）知当c＞2时，a_n＜a_n+1
当c＞2时，令α=

c+

c2-4

2

，由an+

1

an

＜an+1+

1

an

=c得an＜α
当2＜c≤

10

3

时，a_n＜α≤3
当c＞

10

3

时，α＞3且1≤a_n＜α
于是α-an+1=

1

anα

(α-an)≤

1

3

(α-an)
α-an+1=

1

3n

(α-1)
当n＜log3

α-1

α-3

时，α-an+1＜α-3，an+1＞3
因此c＞

10

3

不符合要求．
所以c的取值范围是（2，

，10

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1=c-1an．（Ⅰ）设c=52，bn=1an-2，求数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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