发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00
试题原文 |
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证明:f(n)=(2-xn)xn,g(x)=xn(2-x)n(2分) 比较f(n)与g(n)的大小,即比较2-xn与(2-x)n的大小. (3分) 猜想:(2-x)n≥2-xn(当且仅当n=1时,等号成立) (5分) 下面用数学归纳法加以证明: (1)当n=1时,显然(2-x)1≥2-x,成立,n=2时,左边=(2-x)2=4-4x+x2,右边=2-x2, 因为4-4x+x2-2+x2=2(1-2x+x2)=2(1-x)2>0,成立. (7分) (2)假设当n=k(k≥2,k∈N)时,猜想成立,即(2-x)k>2-xk(8分) 当n=k+1时,(2-x)k+1=(2-x)(2-x)k>(2-x)(2-xk)(注:0<x<1) 要证猜想成立,只需证明(2-x)(2-xk)>2-xk+1(11分) 即证xk+1-xk-x+1>0亦即(x-1)(xk-1)>0 由0<x<1易得上式成立,即n=k+1时,猜想成立. (13分) 综上(1)(2)可知,猜想成立. (14分) (另证:令x=1-t,要证(2-x)n>2-xn,即证(1-t)n+(1+t)n>2,由二项式定理展开,易得证.酌情给分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设n∈N*,0<x<1,f(n)=1-(1-xn)2,g(n)=[1-(1-x)2]n,试比较f(n)与..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。