设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{an}满足a1=4，(n∈N*)；（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与6n2-2的大小。-数学试题及答案

1、试题题目：设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

设f(x) 是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列{a_n} 满足
a₁=4，

(n∈N*)；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小。

试题来源：0103 模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）由题设知

可化为

，
∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，
∴

，即

，
∴数列

是以

为首项，1为公差的等差数列，
∴

，
即a_n=

。
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+a₃+···+a_n =4(1+3¹+3²+···+3^n-1)=2(3ⁿ-1) ，
当n=1时，有S_n=6n²-2=4；
当n=2时，有S_n=16<6n²-2=22；
当n=3时，有S_n=6n²-2=52；
当n=4时，有S_n=160>6n²-2=94；
当n=5时，有Sn=484>6n²-2=148。
由此猜想当n≥4时，有S_n>6n²-2

3^n-1>n²，
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时显然成立；
②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时，有3^k-1>k²；
当n=k+1时，有3^k=3·3^k-1>3k²，
∵k≥4，
∴k(k-1)≥12， ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)²，
∴3^k>3k²>(k+1)²， ∴3^k>(k+1)²，因此当n=k+1时原式成立。
由①②可知，当n≥4时有3^n-1>n²，
即S_n>6n²-2，
综上可知当n=1，3时，有S_n=6n²-2；当n=2时，有S_n<6n²-2；当n≥4时，有S_n>6n²-2。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

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