已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：BC∥平面C1B1N；（2）求证：BN⊥平面C1B1N；（3）求此几何体的体积-数学试题及答案

1、试题题目：已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（1）求证：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）求此几何体的体积．

试题来源：德州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB₁两两互相垂直．
∵BC∥B₁C₁，B₁C₁?平面C₁B₁N，BC?平面C₁B₁N，
∴BC∥平面C₁B₁N…（4分）
（2）连BN，过N作NM⊥BB₁，垂足为M，
∵B₁C₁⊥平面ABB₁N，BN?平面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，…（5分）
由三视图知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN=

42+42

=4

2

，B₁N=

NM2+B1M2

=

42+42

=4

2

，…（6分）
∵BB₁=8²=64，B₁N²+BN²=32+32=64，
∴BN⊥B₁N，…（7分）
∵B₁C₁?平面B₁C₁N，B₁N?平面B₁C₁N，B₁N∩B₁C₁=B₁
∴BN⊥平面C₁B₁N …（9分）
（3）连接CN，
V_C-BCN=

1

3

×BC?S_△ABN=

1

3

×4×

1

2

×4×4=

32

3

…（11分）
∴平面B₁C₁CB⊥ANB₁B=BB₁，NM⊥BB₁，NM?平面B₁C₁CB，
∴NM⊥平面B₁C₁CB，
V N-B1C1CB=

1

3

×NM?S 矩形B1C1CB=

1

3

×4×4×8=

128

3

…（13分）
此几何体的体积V=V_C-BCN+V N-B1C1CB=

32

3

+

64

3

=32；
V=V_C-BCN+V N-B1C1CB=

32

3

+

128

3

=

160

3

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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