如图：在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱BB1的中点，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．（1）证明：平面AC1D⊥平面AA1C1C；（2）求三棱锥A1-AC1D的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：如图：在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱BB₁的中点，且DB=2，∠ABD=90°，DA=DC．
（1）证明：平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；
（2）求三棱锥A₁-AC₁D的体积．

试题来源：烟台一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵DA=DC，DB=DB，BA=BC，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠ABD=∠CBD=90°，即DB⊥BA，DB⊥BC，又BA∩BC=B，
∴DB⊥平面ABC，即BB₁⊥
∴CC₁⊥平面ABC，…4分
魔方格

设AC₁的中点为M，AC的中点为N，连接DM、DN和BN，则MN∥CC₁且MN=

1

2

CC₁，
又∵BD∥CC₁且BD=

1

2

CC₁，
∴MN

∥

.

BD，即四边形MNBD为平行四边形，
∴MD∥BN，又△ABC为正三角形，
∴BN⊥AC，
又∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥BN，又CC₁∩CA=C，
∴BN⊥平面AA₁C₁C，
∴DM⊥平面AA₁C₁C，
又DM?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面AA₁C₁C；…9分
（2）∵△AA₁C₁的面积为6，
∴三棱锥A₁-AC₁D的体积V=

1

3

×6×DM=2BN=3

3

…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图：在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面正三角形ABC的边长为3，D为侧棱..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：