已知函数f（x）=sinx+cosx，（1）若f（x）=2f（-x），求cos2x-sinxcosx1+sin2x的值；（2）设函数F（x）=f（x）?f（-x）+f2（x），试讨论函数F（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=sinx+cosx，（1）若f（x）=2f（-x），求cos2x-sinxcosx1+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=sinx+cosx，
（1）若f（x）=2f（-x），求

cos2x-sinxcosx

1+sin2x

的值；
（2）设函数F（x）=f（x）?f（-x）+f²（x），试讨论函数F（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0∴tanx=

1

3

，
则

cos2x-sinxcosx

1+sin2x

=

cos2x-sinxcosx

cos2x+2sin2x

=

1-tanx

1+2tan2x

=

1-

1

3

1+2×(

1

3

)2

=

6

11

，
（Ⅱ）由题意知，F（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=cos2x+sin2x+1=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得
-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ（k∈z），
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）得，

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈z），
∴函数F（x）的单调递增区间为 [-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈z），
单调递减区间为[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ] （k∈z）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=sinx+cosx，（1）若f（x）=2f（-x），求cos2x-sinxcosx1+..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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