已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；（3）?p是q-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）?p是q的什么条件？请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或

a2-1＞0

△=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

…（3分）
解得a≤-1或a＞

5

3

．
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为A
则A?（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或

a2-1＞0

△=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

…（8分）
解得1≤a≤

5

3

．
∴实数a的取值范围为[1，

5

3

]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
?p：a∈(-1 ，

5

3

]；q：a∈[1 ，

5

3

]．
而(-1，

5

3

]?[1，

5

3

]，
∴?p是q的必要而不充分的条件．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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