已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．（1）若椭圆C1过点（2，0）和（0，2），求椭圆C1的标准方程；（2）试判断命题“若椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．（1）若椭圆C1过点（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（

2

，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为2＞

2

，所以椭圆的焦点在y轴上
所以椭圆C₁的标准方程为

x2

2

+

y2

4

=1
（2）命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，
且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真命题．
设椭圆C₁：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C₂上任意一点，
则过点P的圆C₂的切线方程为sx+ty=1
因为椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点A、B，不妨设t≠0
由

mx2+ny2=1

sx+ty=1

得（mt²+ns²）x²-2nsx+n-t²=0
∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，
∴m+n-1=0
所以满足椭圆的方程mx²+（1-m）y²=1（0＜m＜1且m≠

1

2

）
即m（x²-y²）+y²-1=0对任意0＜m＜1且m≠

1

2

均成立
所以

x2-y2=0

y2-1=0

即x²=y²=1
所以，满足条件的椭圆C₁恒过定点（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．（1）若椭圆C1过点（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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