已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），bn=1-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），bn=1-

8-m

an

，我们把所有满足b_i?b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下列五个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
根据二次函数的性质，应有△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．
当m=0时，f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），故①错误
当m=4时，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，取0＜x₁=1＜x₂=2，
使得不等式f（x₁）＞f（x₂），故m=4，故②正确．
由上S_n=f（n）=（n-2）²，当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．∴a_n=

1，n=1

2n-5，n≥2

．故③错误
当n=1时，b₁=1-4=-3＜0，
而b₂=1-

4

a2

=5＞0，b₁b₂＜0，所以i可以为1．
n≥2时，b_n?b_n+1=（1-

4

2n-5

）（1-

4

2n-3

）=

(2n-9)(2n-7)

(2n-5)(2n-3)

＜0．
解得n=2，4．即i=2、4
即数列{b_n}的异号数为3．故④错误，⑤正确
故答案为：②⑤

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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