已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g（x）=x+ax2+1，其中x∈R（I）当b=23时，若函数F(x)=f(x)(x≤2)g(x)(x＞2)为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x1，x2∈[1，2]，不-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g（x）=x+ax2+1，其中x∈R（I）当b=23时，若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-

1

3

x³+x²+b，g（x）=

x+a

x2+1

，其中x∈R
（I）当b=

2

3

时，若函数F(x)=

f(x)(x≤2)

g(x)(x＞2)

为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

试题来源：成都二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当b=

2

3

时，函数F（x）为R上的连续函数，
∴

lim

x→2+

g(x)=

2+a

5

=f(2)=2
∴a=8
∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴当x≤2时，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增．
又g(x)=

x+8

x2+1

，g′(x)=

-x2-16x+1

(x2+1)2

当x∈（2，+∞时，g′（x）＜0恒成立，
∴当x＞2时，函数g（x）在（2，+∞）上单调递减．
综上可知，函数F（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立
g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴g(x)=

x-1

x2+1

此时g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0
∴1-

2

＜x＜1+

2

当x∈[-1，2]时，函数g（x）在[-1，1-

2

]上单调递减，在[1-

2

，2]上单调递增．
而g(-1)=-1，g(2)=

1

5

∴当x∈[-1，2]时，函数g（x）的最大值为g(2)=

1

5

．
结合（I）中函数f（x）的单调性可知：当x∈[-1，2]时，f（x）_min=f（0）=b
∴g（x）_max＜f（x）_min
∴b＞

1

5

即实数b的取值范围为b∈(

1

5

，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-13x3+x2+b，g（x）=x+ax2+1，其中x∈R（I）当b=23时，若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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