已知函数f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（II）若存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，a∈R．
（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；
（II ）若存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，求a的取值范围．

试题来源：张掖模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=3时，f（x）=-x³+3x²-4，f?（x）=-3x²+6x=-3x（x-2）．
当x变化时，f?（x）、f（x）在区间的变化如下表：

所以f（x）在区间上的最大值为f（-1）=0，最小值为f（0）=-4．（5分）
（Ⅱ）f?（x）=-3x²+2ax=-3x（x-

2a

3

）．
若a≤0，则当x∈（0，+∞）时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减，而f（x）＜f（0）=-4，不存在使题设成立的x₀．
若a＞0，则当x∈（0，

2a

3

）时，f?（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（

2a

3

，+∞）时，f?（x）＜0，此时f（x）单调递减．f（x）在（0，+∞）的最大值为f（

2a

3

）=

4a3

27

-4．所以题设的x₀存在当且仅当

4a3

27

-4＞0，解得a＞3．
综上，使题设成立的a的取值范围是（3，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2-4，a∈R．（I）当a=3时，求f（x）在区间[-1，1]上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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