已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．（1）求正数a与b的关系；（2）若a=1，设f（x）=mx+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）对?x＞0恒成立，求函数f（x）的解析式；（3）证明：1n（n!）＞2n-4n（-数学试题及答案

1、试题题目：已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．（1）求正数a与b的关系；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．
（1）求正数a与b的关系；
（2）若a=1，设f（x）=m

x

+n，（m，n∈R），若1nx≤f（x）≤b（x-1）对?x＞0恒成立，求函数f（x）的解析式；
（3）证明：1n（n!）＞2n-4

n

（n∈N，n≥2）

试题来源：双峰县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设f（x）=alnx-b（x-1），
易知f（1）=0，由已知f（x）≤0恒成立，
所以函数f（x）在x=1处取得最大值．f′(x)=

a

x

-b=

a-bx

x

∴f'（1）=0，∴a=b
又∵a＞0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意，
即关系式为a=b．（3分）
（2）∵a=1，∴b=1∴lnx≤m

x

+n≤x-1恒成立，
令x=1，有0≤m+n≤0，∴m+n=0（5分）∴m

x

+m≤x-1，
即(

x

-1)(

x

+1-m)≥0对?x＞0恒成立，∴须1-m=-1，即m=2∴函数f(x)=2(

x

-1)（7分）
（3）由（2）知：ln

1

k

≤

2

k

-2=

4

2

k

-2＜

4

k

+

k-1

-2=4(

k

-

k-1

)-2（9分）
∴ln

1

n!

＜4[(

n

-

n-1

)+(

n-1

-

n-2

)++(

1

-

0

)]-2n=4

n

-2n
即lnn!＞2n-4

n

(n∈N，n≥2)（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立．（1）求正数a与b的关系；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

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