设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有(a2-1)2m+ln2＞|f(x1)-f(x2-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-12 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

1-a

2

x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有

(a2-1)

2

m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

试题来源：吉林二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的最值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=

x-1

x

令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=

(1-a)(x-

1

a-1

)(x-1)

x

当

1

a-1

=1，即a=2时，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当

1

a-1

＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1；令f′（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1
当

1

a-1

＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞

1

a-1

；令f′（x）＞0，得1＜x＜

1

a-1

综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，

1

a-1

）和（1，+∞）上单调递减，在（

1

a-1

，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（

1

a-1

，+∞）上单调递减，在（1，

1

a-1

）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=

a

2

-

3

2

+ln2
∴对任意a∈（3，4），恒有

(a2-1)

2

m+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2
∴m＞

a-3

a2-1

构造函数g(a)=

a-3

a2-1

，则g′(a)=

-(a-3)2+8

(a2-1)2

∵a∈（3，4），∴g′(a)=

-(a-3)2+8

(a2-1)2

＞0
∴函数g(a)=

a-3

a2-1

在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0，

1

15

）
∴m≥

1

15

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=1-a2x2+ax-lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的最值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的最值与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：