已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，2a）	2a	（2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	-3a²+a	递减	-4a³-3a²+a	递增

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=-3a²+a，f（2a）=-4a³-3a²+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a²+a）（-4a³-3a²+a）≤0
∴a²（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得

1

4

≤a≤

1

3

故实数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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