发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-20 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)∵f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1), ∴令x=y=1,得f(1-1+1)=f(1)f(1)+f(0)f(0), 即f(1)=f2(1)+f2(0), ∵f(1)=1,∴f(0)=0, 令x=y=0得,f(1)=f2(0)+f2(-1), ∵f(1)=1>f(-1),∴f(-1)=-1, 令x=0、y=2得,f(3)=f(0)f(2)+f(-1)f(1), ∴f(3)=-f(1)=-1, (Ⅱ)对f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1), 令y=0,得f(-x+1)=f(x)f(0)+f(x-1)f(-1) 由(1)得,f(-1)=-1,f(0)=0, ∴f(-x+1)=-f(x-1),令x=x+1,即f(-x)=-f(x), ∴函数为奇函数, 令x=-x-1,代入f(-x+1)=-f(x-1), 得f(-x+2)=-f(-x)=f(x),即f(2-x)=f(x), ∴-f(x-2)=f(x),令x=x+2代入得f(x+2)=-f(x), 令x=x+2代入得f(x+4)=f(x), ∴函数的周期是4, 令x=y代入f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1), 得f2(x)+f2(x-1)=1,令x=3x代入得, ∴f2(3x)+f2(3x-1)=1, (Ⅲ)假设存在常数A,B满足题意, 由(II)得,f(2-x)=f(x), ∴|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2为:|2f(x)+Ax+B|≤2, 令x=-1得,-2≤-2-A+B≤2,即-2≤2+A-B≤2 ① 令x=1得,-2≤2+A+B≤2 ② 令x=3得,-2≤-2+3A+B≤2,即-2≤2-3A-B≤2 ③ ①+②得,-4≤A≤0;②+③得,0≤A≤4,则A=0, 将A=0代入①得0≤B≤4;代入②得-4≤B≤0,则B=0, 由(II)得,f2(x)+f2(x-1)=1, ∴当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立, ∴存在唯一一组常数A=B=0,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中分段函数与抽象函数”。