抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．（1）求抛物线的方程；（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出-数学试题及答案

1、试题题目：抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和CD为过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，中点分别为M和N．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：则直线MN必过定点P，并求出点P的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

y=x+1

y2=2px

得，y²-2py+2p=0
∵抛物线y²=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，∴△=0
解得，p=2，∴抛物线的方程为y²=4x
（2）证明：设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）
把直线AB：y=k（x-1）代入y²=4x，得
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，∴x₃=

x1+x2

2

=1+

2

k2

，y₃=k（x₃-1）=

2

k

同理可得，x₄=1+2k²，y₄=-2k
∴k_MN=

y3-y4

x3-x4

=

k

1-k2

∴直线MN为y-

2

k

=

k

1-k2

（x-1-

2

k2

），即y=

k

1-k2

（x-3），过定点P（3，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“抛物线y2=2px，（p＞0）与直线y=x+1相切，抛物线的焦点为F，AB和..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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