发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-01 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)a2=5,a3=7,a4=9;(3分) (Ⅱ)猜测an=2n+1,(1分) 证明如下: 当n=1时,a1=3=2×1+1,结论成立;(1分) 若n=k时,结论成立,即ak=2k+1, 则n=k+1时, ak+1=2k2-k(3ak-1)+ak2+2=2k2-k(6k+2)+(2k+1)2+2=2k+3,(2分) 于是n=k+1时,结论成立. 故对所有的正整数n,an=2n+1.(1分) (Ⅲ)当n=1时,a1=3>2n; 当n=2n=2时,a2=5>22; 当n=3时,a3=7<23; 当n=4时,a4=9<24;(1分) 猜想n≥3(n∈N*)时,an<2n.(1分) 证明如下: 当n=3时,a3=7<33,结论成立;(1分) 若n=k时,结论成立,即ak<2k,(k≥3),也就是2k+1<2k, 则n=k+1时, ak+1=2k+3=(2k+1)+2<2k+2, 而(2k+2)-2k+1=2-2k<0?2k+2<2k+1,(2分) ∴ak+1<2k+1. 于是n=k+1时,结论成立. 从而对任意n≥3(n∈N*),有an<2n. 综上所述,当n=1,2时,an>2n;当n≥3时,an<2n.(1分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}满足:(1)a1=3;(2)an+1=2n2-n(3an-1)+an2+2(n∈N*).(..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中数学归纳法”。