已知函数f（x）=x3-x，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1）。试比较与1的大小，并说明理由。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-x，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1）。试比..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）。试比较

与1的大小，并说明理由。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1
∵函数g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在区间[1，+∞）上单调递增，
于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，
由此猜想：a_n≥2ⁿ-1
以下用数学归纳法证明这个猜想：
①当n=1时，1=a₁≥2¹-1=1，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即a^k≥2^k-1，
则当n=k+1时，由g（x）=（x+1）²-1在区间[1，+∞）上单调递增知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1，即n=k+1时，结论也成立
由①、②知，对任意n∈N*，都有a_n≥2ⁿ-1
即1+a_n≥2ⁿ，
∴

，
∴

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

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