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1、试题题目：已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf‘（x）＞f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf'（x）＞f（x）在（0，+∞）上恒成立．
（1）①求证：函数在（0，+∞）上是增函数；
②当x1＞0，x2＞0时，证明：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）；
（2）已知不等式ln（x+1）＜x在x＞﹣1且x≠0时恒成立，求证：…．

  试题来源：山东省月考题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：数学归纳法证明不等式



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（1）①∵，
∴
∵xf'（x）＞f（x），
∴g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
从而有在（0，+∞）上是增函数．
②由①知在（0，+∞）上是增函数，
当x1＞0，x2＞0时，有，
于是有：，
两式相加得：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）
（2）由（1）②可知：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2），（x1＞0，x2＞0）恒成立
由数学归纳法可知：xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有：
f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…xn）（n≥2）恒成立
设f（x）=xlnx，则，则xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，
x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）（n≥2）（*）恒成立
令，记
又，
又，
且ln（x+1）＜x
∴（x1+x2+…+xn）ln（x1+x2+…+xn）＜（x1+x2+…+xn）ln（1﹣）
＜﹣（x1+x2+…+xn）＜﹣（﹣）=﹣  （**）
将（**）代入（*）中，可知：
﹣（）
于是，
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点处均可导的函数，若xf‘（x）＞f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。


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