如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为32的菱形，∠ACC1为锐角，侧面ABB1A1⊥侧面AA1C1C，且A1B=AB=AC=1．（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；（Ⅱ）求三棱锥A1-ABC的体积．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为32的菱形，∠ACC1为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面AA₁C₁C是面积为

3

2

的菱形，∠ACC₁为锐角，侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，且A₁B=AB=AC=1．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明（1）：因为四边形AA₁C₁C是菱形，所以有AA₁=A₁C₁=C₁C=CA=1．
从而知△AA₁B是等边三角形．（2分）
设D是AA₁的中点、连接BD，C₁D，
则BD⊥AA₁，由S菱形A A1C1C =

3

2

．
知C₁到AA₁的距离为

3

2

．∠AA₁C₁=60°，
所以△AA₁C₁是等边三角形，（4分）
且C₁D⊥AA₁，所以AA₁⊥平面BC₁D．（6分）
又BC₁?平面BC₁D，故AA₁⊥BC₁．（7分）
（2）由（1）知BD⊥AA₁，又侧面ABB₁A₁⊥侧面AA₁C₁C，
所以BD⊥平面AA₁C₁C，
即B到平面AA₁C₁C的距离为BD．（9分）
又S△AA1C=

1

2

S菱形AA1C1C□

3

4

，BD=

3

2

．
所以VA1-ABC=VB-AA1C=

1

3

S△AA1C_?BD=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

1

8

．（13分）
故三棱锥A₁-ABC的体积为

1

8

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为32的菱形，∠ACC1为..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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