已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π4）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-π6，π3]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π4）的值和f（x）的最小正周期..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²．
（Ⅰ）求f（

π

4

）的值和f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为函数f（x）=2-（

3

sinx-cosx）²=2-（3sin²x+cos²x-2

3

sinxcosx）
=2-（1+2sin²x-

3

sin2x）=1-2sin²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）．
所以，f（

π

4

）=2sin（2×

π

4

+

π

6

）=2sin

2π

3

=

3

，
所以，f（x）的周期为 T=

2π

2

=π．
（II）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
所以，当2x+

π

6

=

5π

6

，即当x=-

π

6

时，函数取得最小值 f（-

π

6

）=-1，
当2x+

π

6

=

π

2

，即当x=

π

6

时，函数取得最大值 f（

π

6

）=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2-（3sinx-cosx）2．（Ⅰ）求f（π4）的值和f（x）的最小正周期..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

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