对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③-数学试题及答案

1、试题题目：对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-25 07:30:00

试题原文

对抛物线C：x²=4y，有下列命题：
①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；
②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l₁，直线l₂过点Q且与l₁垂直，则l₂一定平分∠RQF．
其中你认为是真命题的所有命题的序号是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①因为抛物线的焦点为F（0，1），直线y=kx+l过焦点F，所以当k=0时，直线l被抛物线C所截得的通径最短，此时为2p=4，所以①正确．
②直线y=kx+l过焦点F，且抛物线的准线方程为y=-1．所以根据抛物线的定义可知，A，B到抛物线准线的距离之和为AB，
所以AB的中点到准线的距离为

AB

2

，所以此时以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切，所以②正确．
③当过点P的直线的斜率不存在时，此时为x=2，此时直线和抛物线只有一个交点，此时满足条件的直线只有1条．当过点P的直线斜率存在时，不妨设为k，
此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线，所以过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或2条，所以③错误．
④因为抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR为直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x，
所以切线l₁的斜率为k₁=1，即直线l₁的倾斜角为45°，因为直线l₂过点Q且与l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．所以④正确．
故答案为：①②④．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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