设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．（1）若E为CD的中点，求证：k1?k2=-b2a2；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）-数学试题及答案

1、试题题目：设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-26 07:30:00

试题原文

设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1?k2=-

b2

a2

；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：真命题、假命题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀），则

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

2x0(x1-x2)

a2

+

2y0(y1-y2)

b2

=0…（3分）
∴k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2?x0

a2?y0

=-

b2

a2?k2

∴k1?k2=-

b2

a2

…（7分）
（2）逆命题：设直线L₁：y=k₁x+p交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．若k1?k2=-

b2

a2

，则E为CD的中点．…（9分）
证法一：由方程组

y=k1x+p

x2

a2

+

y2

b2

=1

?(b2+a2

k

21

)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…（10分）
因为直线L₁：y=k₁x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即a2

k

21

+b2-p2＞0，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、E（x₀，y₀）
则∴x0=

x1+x2

2

=

-k1pa2

b2+a2

k

21

，y0=

y1+y2

2

=

pb2

b2+a2

k

21

…（12分）

y=k1x+p

y=k2x

?

x=

p

k2-k1

y=k2x

又因为k1?k2=-

b2

a2

，所以

x=

p

k2-k1

=

-a2k1p

b2+a2

k

21

=x0

y=k2x=

b2p

b2+a2

k

21

=y0

，故E为CD的中点．…（14分）
证法二：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀）
则

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2?(x1+x2)

a2?(y1+y2)

…（9分）
又∵k1?k2=-

b2

a2

，k2=

y0

x0

，

y1+y2

x1+x2

=

x0

y0

即

k1x1+p+k2x2+p

x1+x2

=

kx0+p

x0

…（12分）∴k1+

2p

x1+x2

=k1+

p

x0

得x₁+x₂=2x₀∴y₁+y₂=2y₀，即E为CD的中点．…（14分）
（3）设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0 ，b＞0)于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
则E为CD中点的充要条件是k1?k2=

b2

a2

．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞..”的主要目的是检查您对于考点“高中真命题、假命题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中真命题、假命题”。

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