已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．（Ⅲ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=mx-

m

x

，g(x)=2lnx．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当m=1时，判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根．
（Ⅲ）若x∈（1，e]时，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）m=2时，f(x)=2x-

2

x

，f′(x)=2+

2

x2

，f′(1)=4，切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=4x-4；
（Ⅱ）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x-

1

x

-2lnx，h′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

(x-1)2

x2

≥0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
又h（1）=0，所以f（x）=g（x）在（1，+∞）内无实数根；
（Ⅲ）不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，即mx-

m

x

-2lnx＜2恒成立，也就是m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜

2x+2xlnx

x2-1

恒成立，
令G(x)=

2x+2xlnx

x2-1

，只需m小于G（x）的最小值，
由G′(x)=

(2+2lnx+2)(x2-1)-(2x+2xlnx)?2x

(x2-1)2

=

-2(x2lnx+lnx+2)

(x2+1)2

，
∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上单调递减，
∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=

4e

e2-1

，
则m的取值范围是(-∞，

4e

e2-1

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=mx-mx，g(x)=2lnx．（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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