定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．（Ⅰ）求证：f（0）=0；（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；（III）若f（x）+a＞ax对-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（Ⅰ）求证：f（0）=0；
（Ⅱ）证明：f（x）是偶函数，并求f（x）的表达式；
（III）若f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（Ⅱ）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数．
（III）∵f（x）=x²，
∴由f（x）+a＞ax，得x²-ax+a＞0，
∴f（x）+a＞ax对任意x∈（1，+∞）恒成立，
等价于x²-ax+a＞0对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=x²-ax+a的图象开口向上，对称轴方程是x=

a

2

，
∴

a

2

≤1，解得a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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