函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；（2）若f（1）=1，解不等式f[log2（x2-x-2）]＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时有f（x）＞0、
（1）求证：f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
（2）若f（1）=1，解不等式f[log₂（x²-x-2）]＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设x₂＞x₁，则x₂-x₁＞0、
∵f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）+
f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（-∞，+∞）上为增函数
（2）∵f（1）=1，∴2=1+1=f（1）+f（1）=f（2）
又f[log₂（x²-x-2）]＜2，∴f[log₂（x²-x-2）]＜f（2）
∴log₂（x²-x-2）＜2，于是
∴即-2＜x＜-1或2＜x＜3
∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）对任意的实数m、n有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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