已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立，且当x＞0时，有f（x）＞1成立．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明当x＜0时，有0＜f（x）＜1成立；
（Ⅱ）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（1）=2，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），记Sn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，且对一切正整数n有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1），
由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1．
若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
∴f(x)=

1

f(-x)

．
由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R且设x₁＞x₂，
由已知和（Ⅰ）得f（x）＞0（x∈R），
∴

f(x1)

f(x2)

=

f(x1-x2+x2)

f(x2)

=f(x1-x2)，（7分）∵x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在R上是增函数．

（Ⅲ）

an

an-1

=

f(n)

f(n-1)

=f(1)=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴a_n=2ⁿ．Sn=

1

a1

+

1

a2

++

1

an

=

1

2

[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

=1-(

1

2

)n．
又对一切正整数n，有f(

1-m

)＞2Sn恒成立，
即f(

1-m

)≥2恒成立．
又f（1）=2，∴f(

1-m

)≥f(1)恒成立．
又由（Ⅱ）得

1-m

≥1，
解得m的取值范围是m≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x），对任意的实数m、n，都有f（m+n）=f（m）f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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