已知a＞0，将函数f（x）=12ax2-a的图象向右平移1a个单位再向下平移12a个单位后得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；（Ⅱ）当a=12时，求g（x）在区间[-4，3]上的最大值与最小值-数学试题及答案

1、试题题目：已知a＞0，将函数f（x）=12ax2-a的图象向右平移1a个单位再向下平移..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-20 07:30:00

试题原文

已知a＞0，将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位再向下平移

1

2a

个单位后得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）求函数g（x）的表达式；
（Ⅱ）当a=

1

2

时，求g（x）在区间[-4，3]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）若函数g（x）在[

2

，2]上的最小值为h（a），求h（a）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）将函数f（x）=

1

2

ax²-a的图象向右平移

1

a

个单位得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

^）2-a的图象，
再向下平移

1

2a

个单位后得到函数y=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

的图象．
∴函数y=g（x）的表达式为g（x）=

1

2

a（x-

1

a

）²-a-

1

2a

（Ⅱ）当a=

1

2

时，g（x）=

1

4

（x-2）²-

3

2

∴函数g（x）是一个以x=2为对称轴，开口向上的二次函数
∵x∈[-4，3]，
∴当x=2时，g（x）_min=-

3

2

当x=-4时，g（x）_max=

15

2

（Ⅲ）函数g（x）的对称轴为x=

1

a

＞0，开口向上，
①当0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为增函数，
∴h（a）=g（

2

）=

1

2

a×（

2

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-

2

②当

2

≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤

2

时，
h（a）=g（

1

a

）=

1

2

a×（

1

a

-

1

a

）²-a-

1

2a

=-a-

1

2a

．
③当

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

时，函数g（x）在[

2

，2]上为减函数，
∴h（a）=g（2）=

1

2

a×（2-

1

a

）²-a-

1

2a

=a-2
综上可知，h（a）=

-

2

， a＞

2

-a-

1

2a

，

1

2

≤a≤

2

a-2， 0＜a＜

1

2

∵

1

2

≤a≤

2

时，h（a）=-a-

1

2a

=-（a+

1

2a

）≤-2

a×

1

2a

=-

2

∴当a=

2

时，h（x）_max=-

2

∵0＜a＜

1

2

时，h（a）=a-2＜

1

2

-2=-

3

2

＜-

2

∴当a≥

2

时，函数h（a）的最大值为-

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a＞0，将函数f（x）=12ax2-a的图象向右平移1a个单位再向下平移..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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