已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想an的表达式；（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9．（1）求a2，a3，a4的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，
∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=

7

3

，同理求得a₃=

13

5

，a₄=

19

7

；
（2）由a₁=1，a₂=

7

3

，a₃=

13

5

，a₄=

19

7

，猜想a_n=

6n-5

2n-1

；
（3）证明：①当n=1时，a₁=1，右端

6×1-5

2×1-1

=1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=

6k-5

2k-1

，
那么，当n=k+1时，
∵4a_k+1-a_k?a_k+1+2a_k=9，
∴a_k+1=

9-2ak

4-ak

=

9-2?

6k-5

2k-1

4-

6k-5

2k-1

=

6k+1

2k+1

=

6(k+1)-5

2(k+1)-1

，
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9．（1）求a2，a3，a4的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法”。

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