如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求三棱锥C-PAD的体积VC-PAD；（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点M，满足-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAD的体积V_C-PAD；
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在一点M，满足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的长；若不存在，说明理由．

试题来源：延庆县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：设AC、BD相交于点F，连接EF，
∵ABCD底面ABCD为菱形，∴F为AC的中点，
又∵E为PA的中点，∴EF∥PC．
又∵EF?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
魔方格

（Ⅱ）∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是边长为2正三角形，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA为三棱锥P-ACD的高，
∴V_C-PAD=VP-ACD=

1

3

S△ACD?PA=

1

3

×

3

4

×22×2=

2

3

．
（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，满足PC⊥平面MBD，下面给出证明．
∵PA⊥底面ABCD，
又ABCD底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．
在△PBC内，可求PB=PC=2

2

，BC=2，
在平面PBC内，作BM⊥PC，垂足为M，
设PM=x，则有8-x2=4-(2

2

-x)2，解得x=

3

2

＜2

2

．
连接MD，∵PC⊥BD，BM⊥PC，BM∩BD=B，BM?平面BDM，BD?平面BDM，
∴PC⊥平面BDM．
所以满足条件的点M存在，此时PM的长为

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，P..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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