已知函数f（x）=x3-ax2+4（a∈R）．（I）若x=83是f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）在区间（-1，a）上的极大值；（II）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-ax2+4（a∈R）．（I）若x=83是f（x）的一个极值点，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-ax²+4（a∈R）．
（I）若x=

8

3

是f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）在区间（-1，a）上的极大值；
（II）若在区间[1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

试题来源：绵阳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知有f′（x）=3x²-2ax，
∵x=

8

3

是f（x）的一个极值点
∴f′(

8

3

)=3×(

8

3

)2-2a×

8

3

=0，解得a=4． …（2分）
于是f′（x）=3x²-8x=x（3x-8），令f′（x）=0，得x=0或x=

8

3

．

x

（-1，0）

0

（0，

8

3

）

8

3

（

8

3

，4）

f′（x）

+

0

-

0

+

f （x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

于是当x=0时，f（x）在（-1，4）上有极大值f（0）=4．…（7分）
（Ⅱ）要使f（x）在区间[1，2]内至少有一个实数x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]内的最小值小于0．
∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，x2=

2a

3

，
①当

2

3

a≤0即a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数，
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．这与a＜0矛盾，舍去．
②当0＜

2

3

a≤1即0＜a≤

3

2

时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函数．
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得a＞

3

2

．这与0＜a≤

3

2

矛盾，舍去．
③当1＜

2

3

a＜2即

3

2

＜a＜3时，
当1≤x＜

2

3

a时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

2a

3

)上是减函数，
当

2

3

a≤x＜2时，f′（x）＞0，∴f（x）在[

2a

3

，1)上是增函数．
∴f(x)min=f(

2a

3

)=4-

4

27

a3＜0，解得a＞3．这与

3

2

＜a＜3矛盾，舍去．
④

2

3

a≥2即a≥3时，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是减函数，
∴f（x）_min=f（2）=12-4a＜0，解得a＞3．结合a≥3得a＞3．
综上，a＞3时满足题意．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-ax2+4（a∈R）．（I）若x=83是f（x）的一个极值点，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：