发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
试题原文 |
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解:(Ⅰ)由已知,得x>0且f′(x)=, 当k是奇数时,则f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当k是偶数时,则f′(x)=, 所以当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0, 故当k是偶数时,f(x)在上是减函数,在上是增函数. (Ⅱ)若k=2010,则f(x)=x2-2alnx(k∈N*), 记g(x)=f(x)-2ax=x2-2alnx-20x, g′(x)=, 若方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解; 令g′(x)=0,得x2-ax-a=0, 因为a>0,x>0,所以(舍去),, 当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)是单调递减函数; 当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调递增函数. 当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2). 因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0, 则,即, 两式相减,得2alnx2+ax2-a=0, 因为a>0, ∴2lnx2+x2-1=0, (*) 设函数h(x)=21nx+x-1, 因为在x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一解, 因为h(1)=0, 所以方程(*)的解为x2=1,从而解得。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=x2-2acoskπ·lnx(k∈N*,a∈R,且a>0)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。