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1、试题题目:已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.718..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)。
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[ ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;若不存在,说明理由。

  试题来源:专项题   试题题型:解答题   试题难度:偏难   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解:(1)由f(e)=2,代入f(x)=-ax+b+axlnx,得b=2;
(2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),从而f′(x)=alnx,
∵a≠0,故
①当a>0时,由f′(x)>0得x>1,
由f′(x)<0得0<x<1;
②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1;
综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);
(3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx,
由(2)可得,当x∈(,e),f(x),f′(x)变化情况如下表:

因为
所以y=f(x)在上的值域为[1,2],
据此可得,若则对每一个直线与曲线都有公共点;并且对每一个,直线与曲线都没有公共点
综上,当时,存在最小的实数,最大的实数,使得对每一个,直线与曲线)都有公共点。
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.718..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


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